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什么是线性微分方程：一阶线性微分方程式的基础原理分享

100次浏览     发布时间：2024-08-22 17:45:49    

一阶线性微分方程式是微分方程中最简单的也是基本的，虽然看上去比较枯燥，但其背后的数学原理值得我们去学习和借鉴，本篇就来学习和探讨下。希望对大家有所帮助。

设一阶微分方程式

的右端函数f(x,y)关于y是一次线性的，设其中函数a(x)与b(y)在区间α<x<β上是连续的，此时，相应的微分方程可以写成

像这类的微分方程称之为一阶线性微分方程，不是线性的微分方程称之为非线性微分方程。

下面的一阶微分方程式叫做一阶线性微分方程式

下面的一阶微分方程式叫做非线性微分方程式

本篇内容是求解一阶线性微分方程式（1）

设b（x）=0，则线性微分方程式（1）变成

2）式称之为齐次线性微分方程式，这个方程也是变量分离的方程，因此，采用变量法求出它的通解为（伙伴们可以试着去算下，很简单的）

其中C是一个任意常数，为了诱导出一般线性微分方程（1）的解法，我们对齐次线性微分方程（2）的通解做一点分析，上式写成

再对x求导数，即得

令如下式子

则得：

或得到：

由于μ（x）不等于0，所以得到

这个微分方程实际上就是齐次线性微分方程式（2），因此如果把上面的步骤逆推而上，那么就得到线性微分方程式（7）的一种新的解法，即：根据（7），用函数μ（x）（线性微分方程7的积分因子）乘以（7）的两端，即得方程（6），从而方程（5）成立，再取不定积分，就得到微分方程（7）的通积分（4），用这种积分因子乘方程的方法求解齐次线性微分方程式，其优点是可以用类似的程序求解一般的线性微分方程式（1）。

2）设b(x)不等于0，则称线性微分方程式（1）为非齐次的，为了采用上述的积分因子法，我们把（1）写成与它等价的形式

再用积分因子

乘以方程（8）的两端，则得

亦的

两边取积分，则得到通积分

其中C是任意常数，因此，方程（8）的通解为

例子：求解如下微分方程式

其中K，ω，p都是正的常数。

这是一个非齐次的一阶线性微分方程式，它的积分因子为

用它乘微分方程式的两端，则得到

再取不定积分，得

从而求得微分方程式的通解为

再通过对右边不定积分的计算，则得

其中C是任意常数。


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